相関行列とは、相関係数を並べたものであり、その意味から対称行列になる。

　相関係数は、２つの系列の似ている度合いを測る尺度のことで、-1〜1の間の値をとる。２つの系列
は要素が同数でなければならず、系列それぞれをベクトルとみなしたとき、両ベクトルが同じ向き（一
方のベクトルを正の定数倍したとき他方のベクトルになる。）の場合相関係数が１、逆の向きの場合相
関係数が−１になり、両ベクトルが直交している場合相関係数が０になる。

　２つの系列の要素がX1、X2、･･･、Xn とY1、Y2、･･･、Yn であるとしたとき、相関係数 rXY は次式で計
算される。
　　　　　　　　　　　
		rXY = vXY / sXsY

ただし、vXY は X と Y の共分散であり、sX とsY はそれぞれ系列 X と Y の標準偏差である。さらに、
共分散 vXY は次式で計算されるものである。
		vXY = {
 n
Σ
i=1
(Xi-X#)(Yi-Y#)} / n
X# とY# はそれぞれ系列ＸとＹの平均である。Xi-X# と Yi-Y# はそれぞれ系列ＸとＹの偏差であるので、
共分散 vXY は系列ＸとＹの偏差の積 (Xi-X#)(Yi-Y#) の平均である。Xi=Yi　(i=1,2,･･･,n)であるとき、
共分散は分散に等しくなり、相関係数 rXY = rYX は１になる。また、ＸとＹを入れ替えても計算結果が
変わらないので

		rXY = rYX ,　　 vXY = vYX

となる。

　系列がX、Y、Zと３つあるときには、相関係数はrXY = rYX、rXZ= rZX、rYZ= rZYだけあることになり、こ
れらを次のように行列で表したものが相関行列Ｒである

		   ┌rXX　rXY　rXZ┐ ┌ 1   rXY  rXZ┐
		R =│rYX　rYY　rYZ│=│rXY   1   rYZ│
		   └rZX　rZY　rZZ┘ └rXZ   rYZ   1┘


　同じように共分散を行列で表したものもよく用いられ、分散共分散行列と呼ばれる。

		   ┌ vXX　vXY　vXZ ┐ ┌ vXX　vXY　vXZ ┐
		V =│ vYX　vYY　vYZ │=│ vXY　vYY　vYZ │
		   └ vZX　vZY　vZZ ┘ └ vXZ　vYZ　vZZ ┘


この行列は、分散vXX、vYY、vZZと共分散vXY、vXZ、vYZ等が共に含まれているため、このように呼
ばれる。相関行列Rと分散共分散行列Vの間には次の関係がある。




   ┌ sX  0   0 ┐-1
R =│ 0   sY  0 │
   └ 0   0   sZ┘



 ┌ sX  0   0 ┐-1
V│ 0   sY  0 │
 └ 0   0   sZ┘



 ┌ 1/sX　 0  　 0  ┐ ┌ 1/sX 　0   　0  ┐
=│  0    1/sY   0  │V│  0    1/sY   0  │
 └  0     0    1/sZ┘ └  0     0    1/sZ┘




　
　相関行列を求める手順としてはいくつかのものが考えられるが、ここでは、まず分散共分散行列Ｖを
求め、次に上式を用いて相関行列Ｒを求める手順を用いる。



　以下では、相関行列を計算するExcelマクロを考える。

　プログラムを一般化するために、系列の個数はｋであり、それぞれの要素（データ）数がｎであるも
のとする。さらに、大きさｎ×ｋの配列Ｘを用意し、Ｘの第ｉ列に第ｉ系列のデータを代入する
ものとする。

【手順１】系列毎の平均を計算する。

　　　平均を代入するための大きさkの配列bを用意し、配列bの第i要素に第i系列の平均を代入するこ
　　　とにする。

		ReDim b(k)
		For i = 1 To k
		　 b(i) = 0
		　 For j = 1 To n: b(i) = b(i) + X(j, i): Next j
		　 b(i) = b(i) / n
		Next i

【手順２】各平均を対応する系列の要素から引き、偏差系列を求める。

	大きさｎ×ｋの配列Ｙを用意し、偏差を代入することにする。

		ReDim Y(n, k)
		For i = 1 To k
		　 For j = 1 To n: Y(j, i) = X(j, i) - b(i): Next j
		Next i

【手順３】ＹTＹ を計算し、結果の全要素をｎで割ったものが分散共分散行列になる。各自で確認しな
　　　さい。

　　　大きさｋ×ｋの配列Ｖを用意し、分散共分散行列を代入することにする。

		ReDim V(k, k)
		For i = 1 To k
		　 For j = 1 To k
		　　　d = 0
		　　　For c = 1 To n: d = d + Y(c, i) * Y(c, j): Next c
		　　　   V(i, j) = d / n
		　 Next j
		Next i

　　　ここで変数名ｃやｄを用いているのは、変数名ｋとｓが他で使われているためである。

【手順４】分散共分散行列から相関行列を求めるためには、標準偏差（分散の平方根）が必要である
　　　が、分散共分散行列の対角要素が分散であるので、これらを用いて標準偏差を求める。

　　　大きさｋの配列ｓを用意し、標準偏差を代入することにする。

		ReDim s(k)
		For i = 1 To k
		　 s(i) = Sqr(V(i, i))
		Next i

　　　Sqr()は、VBで平方根を計算する関数である。

【手順５】分散共分散行列Vの第i列をi番目の標準偏差s(i)で割り、第j列をj番目の標準偏差s(j)で割
　　　ることで相関行列Rを求めることができる。

		ReDim R(k, k)
		For i = 1 To k
		　 For j = 1 To k
		　 　 R(i, j) = V(i, j) / s(i) / s(j)
		　 Next j
		Next i
　
　これらのプログラムの前に、系列の個数k、データ数n、データXを読み込む部分を追加し、後ろに求
められた相関行列Rを出力する部分を追加することで、相関行列を計算するExcelマクロが完成する。